Dato un generico parametro T, una equazione differenziale ordinaria è una uguaglianza in cui compaiono una funzione o(T) e le sue derivate nella forma H(T,o(T),o'(T),o"(T),…,o'ʰ'(T))=0 dove
o'(T)=do(T)/dT,
o"(T)=d²o(T)/d²T e o'ʰ'(T)=dʰo(T)/dʰT sono rispettivamente la prima, la seconda e l'h-esima derivata di o(T) rispetto a T.
Una equazione differenziale ordinaria di ordine h è detta lineare a coefficienti costanti se è esprimibile nella forma
ʰHo'ʰ'(T)+…+²Ho"(T)+¹Ho'(T)+⁰Ho(T)=g(T) dove
ʰH,…,²H,¹H,⁰H sono costanti e g(T) è una generica funzione.
Un caso, particolarmente fertile ai fini dello studio dei sistemi oscillativi, è quello di ordine 4. Esso è esprimibile nella forma Ao''''(T)+Bo'''(T)+Co''(T)+Do'(T)+Eo(T)=f(T) dove A,B,C,D,E sono costanti e f(T) è una funzione specifica che assume preferibilmente espressioni del tipo f(T)=0 (oscillazione libera),
f(T)=
γcos(ωT+φ)
(oscillazione forzata cosinusoidale) o
f(T)=ρε[o(T)]ʳ (oscillazione forzata perturbativa di grado r) con
γ,ω,φ,ρ,ε
coefficienti opportuni
.
Nel seguito i riferimenti e i dettagli sono riservati unicamente al sottocaso di ordine 2 nella forma o''(T)+2So'(T)+W²o(T)=0 dove S e W sono rispettivamente noti come coefficiente di smorzamento e coefficiente di pulsazione.
In questa ultima formulazione, le risultanze relative alla risolvente o(T) dipendono dal confronto tra S e W a seconda dei casi S=0 (oscillazione non smorzata), S<W (oscillazione sottosmorzata), S=W (oscillazione critica) e S>W (oscillazione sovrasmorzata). Fissati S e W, le soluzioni della equazione sono ricavabili non appena siano note due condizioni indipendenti al contorno relative ai valori di
o''(T), o'(T) o o(T) assunti in corrispondenza dei valori T=T‚ o T=T„. Nel caso si assumano noti
o(T‚) e
o(T„), le risultanze sono sintetizzate in T01
