Premessa

Uno degli interessi di Turlon per le logiche multi-valore e pluri-operando (logiche mVpO) è legato al fatto che una operazione logica prevede operatori che possono essere associati direttamente o indirettamente a strutture (forme logiche mVpO). Un ipercubo nD può, ad esempio, essere descritto in termini di un operatore, noto come XOR, nel quadro di una logica 2VnO a due valori (m=2) e n operandi (p=n).

La possibilità di affrontare la tematica delle logiche mVpO è strettamente connessa alla capacità di gestire numeri interi grandi a piacere. Per capire l'importanza di poter utilizzare tali numeri, è sufficiente richiamare il fatto che il numero di operatori q in una logica mVpO è determinato dalla legge di potenza q=m^(m^p). Come conseguenza, è immediato verificare che, al crescere di m, q sale con grande rapidità (es. con p=2, q ha rispettivamente 2,5,10,18 e 29 cifre per m=2,3,4,5 e 6). 

Il software realizzato da Turlon dispone della capacità di cui sopra e riesce a gestisce logiche fino al tipo 32V32O. Se l'idea di fondo è investigare sulle forme direttamente o indirettamente connesse agli operatori, si intuisce facilmente che la problematica ha una portata smisurata e che le ricadute pittorico-generative sono potenzialmente infinite.

Il primo passo per affacciare la tematica sugli operatori è quello di concentrare l'attenzione sulle forme direttamente connesse agli operatori elaborando strutture ispirate, ma non necessariamente limitate, alle cosiddette tabelle di verità. Il passo successivo è quello di associare le ennuple di un reticolo multi-dimensionale arbitrario a numeri interi che possono essere interpretati come operandi di una operazione logica. Su tali passi preliminari  si basano le opere attualmente categorizzate nei logitopi.

I cenni che seguono non entrano nel merito degli aspetti logico-matematici, si riferiscono unicamente a modalità di rappresentazione e sono strettamente limitati al chiarimento di alcuni termini che possono comparire nella descrizione delle opere o tra gli esempi in itinere nelle varie pagine del sito.

Aspetti generali

Il tipo di logica comunemente e largamente utilizzato è la logica 2v2O. Essa si basa sulla dicotomia vero (1) o falso (0) e assume come base il noto principio del terzo escluso che rifiuta la possibilità che un valore di verità sia diverso da vero o falso. Le logiche multi-valore non assumono come base il citato principio e ammettono viceversa che possano esistere uno o più valori di verità intermedi. La più nota di queste logiche è la cosiddetta logica fuzzy che ammette infiniti valori espressi da una variabile reale compresa tra 0 e 1. Le esemplificazioni che seguono si riferiscono a logiche relative a un numero finito di valori.

Alla questione del numero di valori si affianca quella del numero di operandi originando una pluralità di opzioni e soluzioni che rendono le logiche mVpO capaci di esprimere notevoli complessità in termini sia concettuali sia rappresentativi.

Particolarmente rilevante a fini pittorici è il tema della rappresentazione di strutture logiche. Esso può essere articolato in tre distinte aree operative che nel seguito saranno sintetizzate nei termini forme dirette, forme indirette e forme evolutive. 

Tutte e tre le aree prendono spunto dalla struttura rappresentativa primaria nota come tabella di verità. Fissato un operatore compatibile con il tipo di logica, detta tabella esprime tutte le possibili combinazioni, tra valori in ingresso e numero di operandi, univocamente e rigidamente associate a specifici valori risultanti in uscita compresi nello spettro di soluzioni associate all'operatore.

Forme dirette

L'aggettivo diretta è utilizzato in questa pagina per caratterizzare tutte le forme espressive di un operatore che sono la immediata ed esplicita emanazione della forma corrispondente espressa dalla sua tabella di verità.

Forme #V2O

Le potenzialità espressive di una tabella di verità sono particolarmente evidenti nei casi di logica mV2O grazie alla possibilità di ricorrere a elementi descrittori piani. A titolo di esempio, in F01 è illustrata una tipica modalità di rappresentazione, con rafforzamento cromatico, riferita rispettivamente a logiche da 2V2O a 5V2O in cui la prima immagine a sinistra si riferisce al già citato operatore XOR mentre le tre successive sono relative a operatori casuali.

Tale modalità di rappresentazione è suscettibile di una serie di interpretazioni pittoriche finalizzate a evidenziare risultati, operandi, collegamenti tra operandi equivalenti o loro libere combinazioni. A titolo di esempio, in F02 sono riportate quattro immagini riferite al primo operatore da destra in F01. 

La prima immagine da sinistra visualizza vertici in cui gli operandi componenti sono espressi da settori circolari e dove i risultati sono espressi da quadrati circoscritti corrispondenti. La seconda immagine visualizza spigoli che collegano coppie di operandi caratterizzate dal medesimo risultato. La terza immagine visualizza, in forma compatta, superfici associate ai soli risultati. Infine, la quarta immagine esprime una arbitraria composizione di vertici, spigoli e superfici ricavabile dalle tre precedenti.

Forme #VpO

Anche se limitata a pochi valori, la capacità di rendere leggibile una tabella si riduce drasticamente al crescere del numero di operatori. Quattro esempi grafici puramente orientativi della complessità di lettura tabellare, riferiti a logiche da 4V2O a 4V5O, sono illustrati in F03. Quattro esempi pittorici corrispondenti, in stile compositivo misto, sono illustrati in F04.

Forme mV#O

Analogamente, anche se limitata a pochi operandi, la capacità di rendere leggibile una tabella si riduce drasticamente al crescere del numero di valori. Quattro esempi grafici puramente orientativi della complessità di lettura tabellare, riferiti a logiche da 2V4O a 5V4O, sono illustrati in F05.  Quattro esempi pittorici corrispondenti, in stile compositivo a spigoli sono illustrati in F06.

Forme indirette

Fissata una base reticolare multi-dimensionale di numeri interi, l'aggettivo indiretta è utilizzato in questa pagina per caratterizzare tutte le forme riferibili a insiemi di punti isolati, intesi come vertici definiti da ennuple (forme a vertici), o a insiemi di collegamento tra punti, intesi come spigoli definiti dal confronto tra coppie di ennuple (forme a spigoli), variamente riconducibili a risultati di operazioni logiche sulle ennuple.

Le modalità di rappresentazione delle forme a vertici o a spigoli poggiano su basi cromatiche legate all'uso di terne RGB (16.777.216 colori). Stante la già citata grandezza degli interi in gioco, quanto sopra introduce delle limitazioni intrinseche che possono compromettere la libertà di definire la base reticolare di riferimento e condizionare la scelta degli operatori efficaci a fini pittorico-rappresentativi. In particolare, prefissata una logica mVpO, la questione delle limitazioni intrinseche è particolarmente evidente al crescere di m e p ed è solo parzialmente possibile aggirarla ricorrendo ad opportuni artifizi operativi in itinere (uso di soglie, moduli, ecc.).

Forme a vertici

La rappresentazione di forme a vertici si riferisce alla possibilità di estrarre un numero a partire dalla singola ennupla caratteristica di ciascun punto. 

Tale rappresentazione è particolarmente adatta nel caso dei punti di un piano intero-reticolare a fini di logica mV2O e particolarmente semplice nel caso di logica 2V2O (es. operatore OR descritto dalla sequenza: [0,0]→0, [0,1]→1, [1,0]→1, [1,1]→1). In detto piano, un punto è caratterizzato da una coppia di interi in base 10 (es. [12;26]). La tipica modalità operativa consiste nel tradurre ciascun elemento della coppia in una ennupla omogenea in base m (es. [(0,0,1,1,0);(0,1,0;1,1)] per m=2), nel generare una nuova ennupla in base m risultato del confronto tra elementi corrispondenti sulla base di un operatore prefissato (es. [(0,1,1,1,1)] nel caso dell'operatore OR), nel tradurre la nuova ennupla in base m in un intero in base 10 (es. 30) e, infine, nell'associare al nuovo intero un colore di una scala cromatica prefissata (es. RGB[30,25,0] in una scala giallo-oro a 512 colori). Nel caso che il nuovo intero generato esorbiti dai valori previsti nella scala cromatica è necessario ricorrere ad artifizi operativi (es. 513→513Mod512=1). Un esempio di tale modalità operativa, riferita all'operatore OR, è illustrato in F07.

Fissato opportunamente il reticolo di riferimento, il procedimento esemplificato di cui sopra è facilmente estendibile a operatori arbitrari di una logica mV20 (es. operatore casuale, relativo a una logica 4V2O, in F08).

Forme a spigoli

La rappresentazione di forme a spigoli si riferisce alla possibilità di collegare tra loro due punti di una struttura reticolare nD nel caso che le ennuple associate a ciascuna coppia di punti siano compatibili in base a un prefissato operatore logico mVnO.  

La compatibilità si esprime confrontando gli elementi corrispondenti di una coppia di ennuple dopo aver precisato a priori quale debba essere il numero di corrispondenze utili k che risulterà ovviamente compreso tra 0 e n. L'aggettivo utile si riferisce alla scelta prefissata di un valore di tipicità h compatibile con mV. Un esempio, relativo all'operatore OR in una logica 2V in un iperspazio 4D, con k=1,2,3,4 e h=1, è illustrato in F09. A titolo esplicativo si consideri la prima immagine da destra, relativa a k=4, che evidenzia il collegamento tra le due ennuple (1,0,0,0) e (0,1,1,1). Il confronto tra le ennuple in base all'operatore OR genera la ennupla (1,1,1,1) che presenta le attese quattro corrispondenze di tipicità 1.

A parità di altri termini esplicativi, si considerino poi le quattro immagini essenziali in F10 relative all'operatore XOR. Come si può osservare la prima immagine a sinistra, relativa a h=1 e k=1, è rappresentativa di un ipercubo 4D. Ciò giustifica l'affermazione in premessa relativa al legame tra ipercubi nD e logica 2VnO.

Forme evolutive

Fissata una base reticolare multi-dimensionale di numeri interi, l'aggettivo evolutive è utilizzato in questa pagina per caratterizzare tutte le forme riferibili a un nucleo originale costituito da uno o più punti base che si sviluppano cromaticamente e iterativamente nei punti immediatamente vicini sulla base di operazioni logiche mVpO. Tale tipo di costruzione operativa rientra nella tematica dei cosiddetti automi cellulari (sistemi evolutivi CA) e sarà qui solo accennata.

La costruzione di forme evolutive di natura logica mVnO in iperspazi nD origina in generale strutture particolarmente complesse e di difficile lettura. La questione si semplifica nel caso di logiche mV2O e 2V20 in particolare. A titolo di esempio, si consideri la prima immagine da sinistra in F11 relativa ad un operatore XOR.

Tale immagine, letta in termini evolutivi dall'alto verso il basso, si riferisce a una terna di cellule originarie [P,C,S], descritta cromaticamente da una terna di grigi casuali, che evolvono nei livelli l successivi con accoppiamenti a due a due in modalità ciclica (es. [S,P], [P,C], [C,S] e [S,P] per l=1). Ciascun livello evolutivo comporta l'incremento di una cellula originando una struttura finale triangolare (es. da 3 a 4 per l=1, da 4 a 5 per l=2, ecc.). Le modalità di accoppiamento sono del tutto simili a quelle indicate in fase di descrizione delle forme dirette.

Sempre a titolo esemplificativo, la sostituzione della terna con una successione di terne identiche configura la costruzione di una sorta di segmento cellulare. Desiderando conservare la lunghezza del segmento, sarà necessario eliminare un elemento cellulare in ciascun livello evolutivo. Le tre immagini, a partire dalla seconda a sinistra in F11, illustrano il risultato evolutivo nei casi che l'elemento cellulare eliminato sia rispettivamente il primo, il centrale e l'ultimo della sequenza in itinere. La prima immagine da destra illustra viceversa un risultato evolutivo nel caso che l'elemento cellulare eliminato sia casuale.

Considerazioni conclusive

Le tre citate tipologie di forme dirette, indirette e casuali riescono ad esprimere solo in minima parte la possibilità di generare forme logiche mVpO. In particolare, le forme indirette a spigoli, unite ad altre variamente strutturali di carattere similare, aprono scenari del tutto o in massima parte inesplorati. 

Emblematico è il caso illustrato in F10 dove, accanto all'ipercubo 4D, emergono altre strutture regolari e simmetriche che lasciano presagire uno stretto legame tra forme geometriche nD e forme logiche mVpO. 

L'elevatissimo numero di operatori in gioco, al crescere di m e p, rende tuttavia inimmaginabile la possibilità di procedere a sistematiche analisi di dettaglio senza ricorrere a strumenti di intelligenza artificiale.

Galleria sciart

Gli esempi di rappresentazione diretta di forme logiche mVpO hanno carattere tipicamente compositivo e sono prevalentemente riscontrabili tra i logitopi.  In particolare, composizioni relative alle forme dirette sono presenti in O024, O026 e O046. Viceversa, composizioni relative alle forme indirette a vertici sono presenti in O016, O017, O019 e O022. Le opere citate si riferiscono tutte a logiche del tipo mV2O ad eccezione della O027 che illustra una forma diretta riferita a una logica 4V4O. Infine, un esempio di forma evolutiva a carattere non compositivo, riferito all'operatore XOR, è riscontrabile tra gli autitopi in O063.