Premessa

Il software generativo realizzato da Turlon è stato progettato per visualizzare, analizzare e sintetizzare strutture definite in spazi con un numero arbitrario di dimensioni. Tale caratteristica nativa rende il software particolarmente adatto a studiare forme funzionali non limitate ai soli numeri reali ma estese ad altre categorie numeriche quali i numeri complessi, i quaternioni, gli ottonioni e i sedenioni (forme funzionali nD). Un elemento peculiare del software è la presenza di parser a più livelli in grado di gestire espressioni variamente articolate relative a tutte le citate categorie numeriche. Per pure limitazioni di potenza hardware, di dimensioni gestite (iperspazio 32D) e di organizzazione delle maschere di visualizzazione, l'operatività è attualmente limitata agli ottonioni.

Sono numerosi i software disponibili nel mercato che consentono di visualizzare e studiare le forme funzionali di cui sopra. Pertanto, in assenza di obiettivi specifici, Turlon ha limitato l'uso del proprio software alla rappresentazione di talune forme prototipali basiche e alla realizzazione di qualche esempio di strutture semplici, associate a campi numerici (scalari e vettoriali),  o di strutture più complesse riconducibili alla generalizzazione nD di forme bi o tridimensionali (es. ipersolenoidi). Sfruttando le proprietà cromo-sonore del software, la generazione di tali forme a fini pittorici è stata sporadicamente accompagnata dalla creazione di forme e installazioni audiovisive.

Più significativo ai fini di studio in tematiche collaterali, è stato viceversa lo sviluppo di forme funzionali nD di tipo iterativo in ambito numerico reale o complesso con orientamento alla gestione dei numeri interi.

Di fatto, le ricadute pittorico-generative relative alla tematica funzionale nD si sono prevalentemente limitate ad alcune opere di carattere prototipale attualmente categorizzate nei funztopi.

I cenni matematici che seguono sono di tipo elementare e sono strettamente limitati al chiarimento di alcuni termini che possono comparire nella descrizione delle opere o tra gli esempi in itinere nelle varie pagine del sito.

Aspetti generali

Una funzione a una variabile è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme di partenza, detto dominio, uno e uno solo elemento di un insieme di arrivo, detto codominio. Gli elementi del dominio sono detti variabili indipendenti (o argomenti o controimmagini) mentre i corrispondenti elementi del codominio sono detti variabili dipendenti ( o risultati o immagini) La definizione della terna, espressa da legge, dominio e codominio, costituisce la condizione necessaria ai fini della identificazione univoca della funzione.

Una funzione a più variabili è una funzione il cui dominio è costituito da ennuple di variabili indipendenti e il cui codominio è costituito da ennuple di variabili dipendenti espresse da uno o più elementi. In taluni contesti operativi e in presenza o assenza di alcune proprietà intrinseche, le caratteristiche del codominio si prestano a ulteriori definizioni. In particolare, nel caso che la funzione associ ciascuna ennupla del dominio a una unica variabile dipendente, si dice che la funzione ha carattere scalare e il codominio viene detto campo scalare. Parallelamente, nel caso che la funzione associ ciascuna ennupla del dominio a una ennupla di variabili dipendenti, si dice che la funzione ha carattere vettoriale e il codominio viene detto campo vettoriale.

Un funzionale è una funzione il cui dominio e codominio sono costituiti da insiemi di funzioni a una o più variabili. Un sottocaso importante di funzionali è costituito dai funzionali iterativi in cui la funzione risultato del codominio diventa funzione argomento nel dominio della medesima funzione in un processo iterativo a cascata governato da un indice d'ordine intero.

Di particolare interesse sono le funzioni e i funzionali in cui le ennuple di riferimento sono inquadrabili in strutture algebriche, sono associabili a variabili parametriche di tipo numerico (reale, complesso, quaternionico, ecc.) e sono rappresentabili in spazi multi-dimensionali (forme funzionali nD).

La modalità di rappresentazione tipica di una forma funzionale nD prevede la costruzione a priori di un reticolo parametrico, costituito da uno o più elementi dimensionali, che funga da definizione e sostegno del dominio. Ciascuna dimensione reticolare è governata e limitata da un parametro di risoluzione che consente di sequenziare i valori intermedi tra un valore minimo e un valore massimo sulla base di una legge opportuna (tipicamente lineare o logaritmica). Esempi di reticoli di sostegno con ordine dimensionale crescente a parità di valore massimo, valore minimo e risoluzione sono illustrati in F01.

Funzioni e funzionali

Variabili reali

Un numero reale è un elemento di una struttura algebrica monodimensionale, nota come campo ordinato, in cui sussistono una serie di proprietà fondamentali (chiusura, commutativa, associativa, distributiva, ecc.). I numeri reali ammettono uno sviluppo decimale finito o infinito, ammettono segno positivo, negativo o nullo e possono essere utilizzati per misurare con continuità una grandezza di natura qualsiasi. Di particolare interesse è la possibilità di creare una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e l'insieme dei punti di una retta. L'insieme dei numeri reali è indicato con il simbolo R e comprende come sottoinsiemi i numeri naturali, gli interi, i razionali, gli irrazionali e i trascendenti.
Il complesso di queste caratteristiche fa dei numeri reali l'ossatura di molti tipi di matematiche e di molti tipi di rappresentazione.

Dato un numero reale r, si definisce reciproco di r il numero r¯¹=1/r. Un esempio di rappresentazione per vertici di forme funzionali di dimensioni crescenti, riferite al reciproco di un numero reale e descrittive della associazione tra le ennuple (x1,x2,…,xN) e (1/x1,1/x2,…,1/xN), è illustrato in F02.

Tra le funzioni che coinvolgono variabili reali, di particolare interesse sono quelle che richiamano una origine geometrica e consentono processi di generalizzazione dimensionale. In F02 a titolo di esempio, è illustrato uno sviluppo dimensionale di una sfera 3D (immagine a sinistra) che può considerarsi rappresentativo di un elemento di ipersolenoide 4D (immagine a destra).

Variabili complesse

Un numero complesso è un elemento di una struttura algebrica bidimensionale caratterizzata dalla presenza di un elemento unità e di uno specifico ulteriore elemento, tipicamente indicato con il simbolo i, che soddisfa l'equazione i²=-1. L'insieme dei numeri complessi è indicato con il simbolo C. Ogni numero complesso c può essere espresso nella forma c=a+bi dove a e b ono numeri reali. Dati due numeri complessi c1=a1+b1i e c2=a2+b2i, il loro prodotto è definito dal numero complesso c1c2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i. La struttura algebrica dei numeri complessi contempla l'inclusione delle proprietà associativa e commutativa del prodotto.

Dato un numero complesso c=a+bi, si definiscono rispettivamente coniugato e norma di c il numero complesso c‾=a-bi e il numero reale ǁcǁ=sqr(cc‾)=sqr(a²+b²). Noto c, si definisce reciproco di c il numero c¯¹=c‾/ǁcǁ². Un esempio di forma funzionale riferita al reciproco di un numero complesso è illustrato in F04.

I numeri complessi si prestano a interessanti rappresentazioni pittoriche non appena si contemplino in congiunzione con i parametri reticolari. A titolo di esempio in F05, è illustrata una medesima forma funzionale, riconducibile al reciproco, con distinte soluzioni pittoriche riferite alle superfici.

Variabili quaternioniche

Un numero quaternionico o quaternione è un elemento di una struttura algebrica quadridimensionale caratterizzata dalla presenza di un elemento unità e di ulteriori tre specifici elementi, tipicamente indicati con i simboli i,j e k, che soddisfano le equazioni i²=j²=k²=ijk=-1. L'insieme dei quaternioni è indicato con il simbolo Q. Ogni quaternione q può essere espresso nella forma q=a+bi+cj+dk dove a,b,c,d sono numeri reali. Dati due quaternioni q1=a1+b1i+c1j+d1k e q2=a2+b2i+c2j+d2k, il loro prodotto è definito dal quaternione q1q2=(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2)i+(a1c2-b1d2+c1a2+d1b2)j+(a1d2+b1c2-c1b2+d1a2)k.

La struttura algebrica dei quaternioni contempla l'inclusione della proprietà associativa e la possibile esclusione della proprietà commutativa del prodotto. Un esempio pittorico di mancata commutatività, tra due opportuni quaternioni q1 e q2, è illustrato in F06 con a sinistra il prodotto q2q1, al centro il prodotto q1q2 e a destra la relazione q2q1-q1q2.

Dato un quaternione q=a+bi+cj+dk, si definiscono rispettivamente coniugato e norma di q il quaternione q‾ =a-bi-cj-dk e il numero reale ǁqǁ=sqr(qq‾)=sqr(a²+b²+c²+d²). Noto q, si definisce reciproco di q il numero q¯¹=q‾/ǁqǁ². Un esempio di forma funzionale riferita al reciproco di un quaternione è illustrato in F07.

Variabili ottonioniche

Un numero ottonionico o ottonione è un elemento di una struttura algebrica octadimensionale caratterizzata dalla presenza di un elemento unità e di ulteriori sette specifici elementi, tipicamente indicati con i simboli e1,e2,e3,e4,e5,e6 e e7, che soddisfano le equazioni e1²=e2²=e3²=e4²=e5²=e6²=e7²=-1. L'insieme degli ottonioni è indicato con il simbolo O. Ogni ottonione o può essere espresso nella forma o=x0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7 dove x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 sono numeri reali.

La struttura algebrica degli ottonioni prevede una articolata definizione di prodotto che contempla le possibili esclusioni delle proprietà sia associativa sia commutativa. Un esempio pittorico di mancata associatività, fra tre opportuni ottonioni o1,o2 e o3, è illustrato in F08 con a sinistra il prodotto o1(o2o3), al centro il prodotto (o1o2)o3 e a destra la relazione o1(o2o3)-(o1o2)o3.

Dato un ottonione o=x0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7, si definiscono rispettivamente coniugato e norma di o l'ottonione o‾=x0-x1e1-x2e2-x3e3-x4e4-x5e5-x6e6-x7e7 e il numero reale ǁoǁ=sqr(oo‾)=sqr(x0²+x1²+x2²+x3²+x4²+x5²+x6²+x7²). Noto o, si definisce reciproco di o il numero o¯¹=o‾/ǁoǁ². Un esempio di rappresentazione per vertici di una forma funzionale riferita al reciproco di un ottonione è illustrato in F09.

Campi

In matematica, come già accennato in riferimento ai numeri reali, il termine campo viene attribuito a una struttura algebrica in presenza di un insieme i cui elementi soddisfano specifiche proprietà caratteristiche (es. i quaternioni non rappresentano un campo perché non vale in generale la proprietà commutativa del prodotto). Il concetto di campo è fondamentale in una strutture algebrica, particolarmente importante in vari contesti, nota come spazio vettoriale. Tale struttura è costituita da un campo, da un insieme di sostegno e da una coppia di operazioni binarie caratterizzate da determinate proprietà. Nel quadro degli spazi vettoriali gli elementi del campo sono detti scalari e gli elementi dell'insieme di sostegno sono detti vettori.

In fisica, il termine campo viene usato in connessione con le grandezze scalari e vettoriali. In particolare, si definisce scalare una grandezza, tipicamente tridimensionale, caratterizzata da un numero reale, detto intensità, e da una unità di misura (es. temperatura). Parallelamente si definisce vettore una grandezza caratterizzata da un modulo (numero reale non negativo deducibile da intensità componenti), una direzione (retta orientata di azione o giacenza), un verso (senso di percorrenza della direzione) e, qualora necessario, un punto di applicazione (es. vettore forza). Di particolare importanza è la cosiddetta rappresentazione algebrica di un vettore che esprime una corrispondenza biunivoca tra i vettori fisici e le terne di numeri reali.

A fini sintetici, è possibile unificare concetti e terminologie nell'ambito del già più volte citato concetto di ennupla.  Riferendosi a elementi astratti, è possibile infatti considerare uno scalare semplicemente come una ennupla sempre costituita da un unico elemento e viceversa un vettore come una ennupla costituita da uno o più elementi a seconda del contesto multi-dimensionale. Con tale premessa scalari e vettori possono essere considerate in parallelo con elementi di connessione, sovrapposizione e operatività variamente definiti (es. nel caso dei quaternioni il primo elemento della ennupla è interpretabile come componente scalare mentre i successivi tre sono identificabili come componente vettoriale).

Detta impostazione sintetica ha carattere generico ma è più che sufficiente ai fini descrittivi di questa pagina. Nel seguito, per minimizzare l'esposizione e giustificare alcune caratteristiche pittoriche, il riferimento a scalari e vettori sarà guidato dal loro uso in fisica. In particolare,  si considererà noto il significato delle usuali caratterizzazioni dei vettori in termini di modulo, direzione e verso e si assumerà come implicita la corrispondenza biunivoca tra vettore fisico e ennupla matematica contemplando la estensione agli spazi multi-dimensionali.

Campi scalari

Un campo scalare è una regione di uno spazio multi-dimensionale in cui punto per punto è definito uno scalare. La tipica modalità di rappresentazione di un campo scalare si articola in due livelli di espressione rispettivamente singola e collettiva.

Un esempio nello spazio 2D di espressione singola è costituito dalla cosiddetta rappresentazione a bolle. Tale modalità di rappresentazione prevede la possibilità di tracciare, in corrispondenza di opportuni punti dello spazio, una circonferenza con raggio proporzionale  al numero reale, o intensità, associato allo scalare e un cromatismo di sostegno che consenta di differenziare i segni dei reali. Detta modalità è estensibile anche a spazi di dimensione superiore utilizzando forme geometriche alternative (es. ipercubi nD con la metà dello spigolo che sostituisce il raggio).

Parallelamente, un esempio nello spazio 2D di espressione collettiva è costituito dalle cosiddette curve di livello che collegano tutti i punti caratterizzati dalla medesima intensità dello scalare (es. curve isobare 2D). Detta modalità è estendibile a spazi di dimensioni superiori definendo le cosiddette superfici equiscalari (es. superfici equipotenziali 3D). Articolando opportunamente le scale cromatiche, il cromatismo di sostegno, introdotto per l'espressione singola, può essere utilizzato a fini pittorico-descrittivi anche nel caso della espressione collettiva. 

Quando riferiti a spazi di dimensioni 3D o superiori, le espressioni  sia singola che collettiva appaiono di difficile lettura e interpretazione. Esempi pittorici 2D variamente articolati e cumulativi dei due tipi di espressione, sono illustrati in F10.

Campi vettoriali

Un campo vettoriale è una regione di uno spazio multi-dimensionale in cui punto per punto è definito un vettore. La tipica modalità di rappresentazione di un campo vettoriale si articola in due livelli di espressione rispettivamente singola e collettiva.

Un esempio nello spazio 2D o 3D di espressione singola è costituito dalla cosiddetta rappresentazione a frecce. Tale modalità di rappresentazione prevede la possibilità di tracciare , in corrispondenza di opportuni punti dello spazio, una freccia la cui lunghezza coincide con il modulo del vettore, la cui direzione coincide con quella del vettore e il cui verso è fissato per convenzione in base a criteri di orientazione.

Parallelamente, un esempio nello spazio 2D o 3D di espressione collettiva è costituito dalle cosiddette linee di campo che, con risoluzione opportuna, collegano punti successivi dello spazio secondo modalità specifiche di natura iterativa a partire da punti iniziali di riferimento. Dette linee sono particolarmente efficaci ai fini della interpretazione e lettura delle proprietà del campo (es. densità in un area proporzionali ai valori medi dei moduli dei vettori considerati nell'area). Detta modalità è estendibile a spazi di dimensioni superiori definendo curve di natura più o meno semplice.

Introducendo opportune scale cromatiche, è possibile arricchire i due tipi di espressione a fini pittorici. In particolare, è possibile legare il cromatismo sia alla posizione sia al modulo dei vettori nello spazio. Peculiare è inoltre la possibilità di realizzare una forma di visualizzazione reticolare del campo considerandolo come entità geometrica complessiva descrivibile in termini di vertici, spigoli e superfici. 

Quando riferiti a spazi di dimensioni 3D o superiori, le espressioni sia singola che collettiva appaiono di difficile lettura e interpretazione. Esempi pittorici 2D variamente articolati e cumulativi dei due tipi di espressione, sono illustrati in F11 con l'immagine centrale che si riferisce alla visualizzazione reticolare di cui sopra.

Funzionali iterativi

Come già precedentemente accennato, i funzionali iterativi sono particolari funzionali che usano il risultato di una funzione come argomento della medesima funzione secondo un ciclo ricorsivo regolato da un numero intero. Ascrivibili a questo tipo di problematica sono le funzioni ricorsive e i cosiddetti sistemi di funzioni iterate.

Questi ultimi in particolare, sono insiemi di funzionali che agiscono sulla scala dei risultati in itinere (funzionali contrattivi). Sono noti per il loro impiego nell'ambito della cosiddetta geometria frattale ma hanno un carattere più generale in quanto applicabili a strutture analitiche e geometriche di natura varia. A livello operativo, utilizzano algoritmi di tipo sia deterministico sia casuale.

Un algoritmo deterministico consiste tipicamente nel prendere un insieme di punti (es. vertici di una figura geometrica) e applicare loro ciascuno dei corrispondenti funzionali del sistema ottenendo una serie di punti trasformati (es. vertici contratti della medesima figura geometrica). A ognuno dei nuovi punti vengono riapplicati i funzionali del sistema fino ad ottenere una ulteriore serie di nuovi punti. Successivamente si continua a procedere con le medesime modalità fino al raggiungimento di una configurazione di punti definita da un ordine di iterazione prestabilito. Selezionando opportunamente l'ordine di iterazione è possibile avvicinarsi a piacere ad una figura, detta attrattore di sistema, che risulta indipendente dai punti iniziali selezionati ed è normalmente ottenibile con piccoli valori dell'indice d'ordine.

Un algoritmo casuale è sostanzialmente simile al precedente con la differenza che, invece di applicare i funzionali a un insieme di punti, essi vengono applicati a un singolo punto secondo modalità iterative dettate da criteri probabilistici.

Indipendentemente dalla qualifica contrattiva, le modalità operative di cui sopra possono essere liberamente applicate su ennuple di configurazione e dimensione arbitrarie.

Tutte le fasi di un processo iterativo sono in linea di principio rappresentabili e accompagnabili, a fini pittorici, da cromatismi più o meno sofisticati. Un esempio di iterazione di ordine 4, riferito a un quadrato 2D e stilizzato su ispirazione dell'insieme di Cantor, è illustrato in F12 con l'immagine a destra orientativamente rappresentativa dell'attrattore di sistema.

Similmente, un esempio di iterazione di ordine 4, riferito a un cubo 3D di stile continuo e opportunamente orientato, è illustrato in F13.

Infine, per richiamare l'arbitrarietà nella configurazione e nelle dimensioni delle ennuple associabili ai punti iniziali del processo iterativo e al tempo stesso sottolineare la versatilità del software nella rappresentazione di una generica forma funzionale nD, sono illustrati in F14 un esempio di iterazione di ordine 1, riferito a una opportuna forma 4D (immagine a sinistra), con stile continuo (immagine centrale) e uno di ordine 2 con stile puntiforme (immagine a destra).

Aspetti conclusivi

Quanto sopra sintetizza solo in parte le potenzialità del software ai fini della gestione di funzionali nD. La sua caratteristica nativa, che prevede lo sviluppo di forme a partire da strutture reticolari astratte e da elementi parametrici variamente articolabili in spazi multi-dimensionali, lascia intravedere una serie di possibili estensioni in tematiche collaterali quali le forme riconducibili a numeri interi (forme intero-funzionali) o le strutture interpretabili in termini di logiche multi-valore (forme logiche mVpO).

Parallelamente, la capacità di associare ciascun elemento del reticolo funzionale a un colore, congiunta alla capacità del software di associare un colore a un suono, rende concreta la possibilità di elaborare forme geometrico-funzionali che si generano ed evolvono in contesti sonoro-pittorici (videomiscellanea #).

Galleria sciart

Esempi variamente articolati di forme funzionali nD sono riscontrabili tra i funztopi. Come parzialmente anticipato in premessa, si tratta di opere prevalentemente inedite, di carattere prototipale (OPxx) e prive di cura cromatica. In particolare, l'aspetto relativo alla generalizzazione dimensionale progressiva di forme geometriche caratteristiche, riferito a un solenoide, è presente in OP31. Forme varie riconducibili alle variabili reali, complesse, quaternioniche e ottonioniche sono rispettivamente presenti in OP32, OP33, OP34 e OP35.  Esempi pittorici di forme riconducibili ai campi scalari e vettoriali sono presenti rispettivamente in OP36 e OP37. Un esempio di funzionale iterativo di ordine 3, riferito a un ipercubo 4D, è illustrato in O043.