Premessa

Il software sviluppato da Turlon in tema di forme funzionali nD si fonda su una base reticolare di tipo parametrico del tutto arbitraria. Un caso particolare di base reticolare è quella costituita da punti rappresentati da ennuple di numeri interi. Detta base reticolare può essere interpretata come dominio di una particolare sottoclasse di funzionali che operano con interi generando interi e che possono essere associati a forme (forme intero-funzionali).

Strettamente collegato a quanto sopra è la necessità di operare senza approssimazioni con numeri interi grandi a piacere. Tale necessità operativa si scontra immediatamente con un importante problema di ordine hardware e software causato dalle limitazioni nelle variabili di tipo Long utilizzabili a livello di linguaggio di programmazione Basic.  Nei vecchi hardware a 32 bit il più grande intero gestibile ha dieci cifre mentre nei più moderni hardware a 64 bit il più grande intero gestibile ha diciannove cifre. Esiste la possibilità  di utilizzare interi più grandi usando variabili di tipo diverso dai Long ma la questione si sposta di poco e il problema del grande a piacere persiste.

Per risolvere la questione, Turlon ha sviluppato una serie di routine di calcolo tra interi che, in sostituzione dei Long, operano con variabili di tipo String. Tale tipo di variabili non è soggetto di fatto ad alcun tipo di limitazione aprendo la strada alla possibilità di affrontare una serie di tematiche (es. teoria dei numeri, logiche multi-valore, ecc.) fortemente condizionate dal numero di cifre degli interi utilizzabili. Particolarmente utili si sono rivelati la costruzione di un parser dedicato alla gestione numerica degli interi via String e la possibilità di introdurre liberamente le citate routine a qualsiasi livello di programmazione senza dover ricorrere a contributi esterni che rischiavano di appesantire il software. 

Affinati tali strumenti, Turlon ha iniziato a sperimentare alcune rappresentazioni di forme intero-funzionali. Tuttavia, poiché i suoi interessi prevalenti sono di ricerca in ambito scientifico e gli strumenti di calcolo elaborati aprivano scenari particolarmente produttivi, ha messo rapidamente in secondo piano gli aspetti artistici per dedicarsi a rivisitare alcuni temi fisico-matematici a lui cari.

Di fatto, le ricadute pittorico-generative relative alla tematica delle forme intero-funzionali si sono limitate ad alcune opere, legate a funzioni elementari di tipo polinomiale e a funzioni di tipo ricorsivo, che sono attualmente categorizzate nei modutopi.

I cenni matematici che seguono sono strettamente limitati al chiarimento di alcuni termini che possono comparire nella descrizione delle opere o tra gli esempi in itinere nelle varie pagine del sito.

Aspetti generali

Fissato un dominio costituito da soli numeri interi, un intero m detto modulo e una scala cromatica di m elementi, l'idea pittorica alla base delle forme intero-funzionali è quella di trasformare in uno scalare intero, compreso tra 0 e m-1,  la ennupla che caratterizza ciascun elemento del dominio. La trasformazione di una ennupla in uno scalare s avviene attraverso un funzionale, di natura tipicamente polinomiale,  e l'adattamento è governato dall'uso a posteriori della funzione f(s,m,g)=MOD(g(s),m) dove g(s) è una funzione opportuna che funge da fattore di scala e MOD è la nota funzione aritmetica modulo . Gli effetti pittorici sono la conseguenza della corrispondenza univoca tra i valori di f(s,m,g) e gli m elementi della scala cromatica prefissata. 

Il modo tipico per allestire il dominio iniziale di ennuple è quello di ricorrere a una struttura reticolare omogenea definita in un iperspazio nD (forme reticolari). Viceversa, un modo alternativo è quello di ricorrere a un dominio di interi generato da funzioni ricorsive (forme ricorsive).

Forme reticolari

La procedura operativa di cui sopra conduce, per costruzione, alla generazione di una struttura cromatica finale perfettamente sovrapponibile alla struttura iniziale che rappresenta il dominio del funzionale. 

Conseguentemente, stanti la non continuità dell'insieme degli interi e viste le modalità di rappresentazione di strutture reticolari negli iperspazi nD, le forme intero-funzionali avranno necessariamente un aspetto non compatto con punti più o meno distanti tra loro (forme disgiunte). Tuttavia in caso di spazio 2D, a causa della modalità operativa per pixel tipica della pittura generativa, le forme intero-funzionali potranno assumere un veste apparentemente compatta (forme congiunte).

Gli esempi che seguono sono tutti generati da funzionali di natura polinomiale di 2° grado o superiore.

Forme disgiunte

Un semplice esempio di forma intero-funzionale di origine reticolare, generata da un funzionale di 2° grado che esprime la somma dei quadrati degli elementi delle ennuple, è illustrato in F01 per iperspazi da 2D a 5D, .

Un ulteriore esempio, generato da un funzionale di 3° grado con i quadrati sostituiti dai cubi a parità di altre condizioni, è illustrato in F02.

Forme congiunte

Come è facilmente intuibile, la scelta del modulo m riveste un ruolo fondamentale ai fini dei risultati pittorici. In particolare, nel caso delle forme compatte realizzabili negli spazi 2D, l'assunzione di m comporta la generazione di una retinatura intrinseca, guidata dal funzionale, che si sovrappone alla retinatura dei pixel, video o di stampa, causando il manifestarsi, a vari livelli di scala, del noto effetto moiré. 

A titolo di esempio, si considerino le immagini in F03 e F04 rispettivamente associate a tre diversi funzionali di 2° grado (ellisse, parabola degenere e iperbole) in assenza (immagine non modulata) e in presenza (immagine modulata) di effetti dovuti a m.

E' importante sottolineare che l'aspetto moiré di una immagine modulata è fortemente condizionato, oltre che dal funzionale, anche dalle dimensioni assunte della stessa nel supporto di visualizzazione. A titolo confermativo, si osservino le immagini in F06 e F07 relative a due esempi di funzionali rispettivamente di 3° e 4° grado.

Forme ricorsive

Le funzioni ricorsive sono funzioni, supposte calcolabili in senso primitivo, che conducono da numeri naturali a numeri naturali. La più nota di queste è la funzione di Fibonacci che conduce alla sequenza 1,1,2,3,5,8,… in cui, dal terzo elemento in poi, ciascun elemento è dato dalla somma dei due precedenti. 

Ai fini delle forme intero-funzionali, le funzioni ricorsive sono particolarmente interessanti perché possono costituire una alternativa alle usuali griglie reticolari usate come dominio dei funzionali. Possono ovviamente rivestire anche ruoli indipendenti e, in particolare, nello spazio 2D alcune di tali funzioni si prestano a realizzare forme di riempimento del piano (tassellature). Un altro interessante uso, riferito ai funzionali iterativi, è descritto nella pagina del sito dedicata alle forme funzionali nD.

Tassellature

In geometria piana, si dicono tassellature le modalità di ricoprire il piano con una o più figure, di natura aritmetica o geometrica, ripetute all'infinito, o fino a un dato ordine n, senza sovrapposizioni. Un esempio di tassellature di ordine da n=1 a n=5, basate sulla sequenza di Fibonacci, è illustrato in F07.

Il pieno governo delle funzioni ricorsive si presta poi a infinite ricadute di natura pittorica. Un esempio in tal senso di tassellatura di ordine n=3, basata sempre sulla sequenza di Fibonacci, è illustrato in F08.

Aspetti conclusivi

Quanto sopra sintetizza solo in parte le potenzialità del software ai fini della realizzazione di forme intero-funzionali. In particolare, tutta da esplorare è la tematica relativa alle forme reticolari disgiunte.

La metodologia operativa descritta in precedenza, lascia infine intravedere una serie di possibili estensioni in tematiche collaterali quali le forme riconducibili agli automi cellulari (sistemi evolutivi CA).

Galleria sciart

Esempi di natura varia relativi a forme intero-funzionali sono riscontrabili tra i modutopi. Come già accennato in premessa, i funzionali usati sono di natura polinomiale e hanno carattere elementare. In particolare, esempi di forme congiunte riferite a funzionali di 2° grado sono presenti in O028 e O030 mentre esempi, dello stesso tipo, riferiti a funzionali di 3° e 4° grado sono presenti in O037 e O038. Esempi di forme ricorsive, basate sulla sequenza di Fibonacci, sono presenti in O045 e O056. Esempi di composizioni eterogenee tra i vari tipi sono presenti in O035 e O048. Non sono presenti in galleria esempi di forme disgiunte.