Strutture n-dimensionali

Un aspetto fondamentale e caratterizzante del software generativo di Turlon, è la capacità di realizzare forme concepite all'interno di spazi di dimensioni arbitrarie (iperstrutture e iperspazi n-dimensionali o nD). Per pure limitazioni di potenza hardware e software, l'attuale numero massimo di dimensioni gestite è trentadue (iperspazio 32D).


Pg05Fg1234Le principali iperstrutture nD utilizzabili nel software sono di tipo

- geometrico
- logico
- funzionale
- misto geometrico-logico-funzionale
- tabellare

Per semplicità, i cenni matematici che seguono sono strettamente limitati al chiarimento di alcuni termini che compaiono nei vari esempi delle pagine o come commento alle opere. Per eventuali esigenze di approfondimento, è consigliato riferirsi al Web e ai numerosi testi disponibili in letteratura.


Generalità

Gli elementi fondamentali che stanno alla base della rappresentazione di una struttura in uno spazio nD sono i vertici e gli spigoli.

Un vertice è pensato semplicemente come un insieme di n coordinate (ennupla o n-pla), mentre uno spigolo è immaginato come elemento unidimensionale di collegamento tra i vertici in base a un criterio univoco e prestabilito (geometrico, logico, funzionale, casuale, arbitrario, ecc.) applicabile in modo globale tra le n-ple o in modo singolo tra le coordinate.

I vertici e gli spigoli, selezionati in base ai criteri prestabiliti, concorrono alla realizzazione dello scheletro della struttura (scheletro nD) che si intende da rappresentare nel piano secondo modalità proiettive opportune.

La proiezione nel piano avviene in base a soluzioni di tipo assonometrico arricchite da varie modalità di visualizzazione gestite dal software generativo.

Lo scheletro nD, immaginato in movimento o in evoluzione nello spazio, è il responsabile della traccia cromatica che consente di realizzare la pittura generativa non appena si associ allo spazio nD un campo cromatico.

Nel seguito si concentrerà l'attenzione sugli scheletri nD delle sole strutture di tipo geometrico (ipersfere e politopi) con la traccia cromatica congelata in una posizione opportuna.


Ipersfere 

Una ipersfera nD (o n-sfera) costituisce la generalizzazione nD della circonferenza 2D e della sfera 3D. Rappresenta l'insieme dei punti di uno spazio nD che hanno la medesima distanza da un punto fisso detto centro. Detti punti sono due nel caso 1D e infiniti per n maggiore o uguale a due.

Ammette varie modalità di raffigurazione e il software generativo ne prevede più di una (parallela, meridiana, reticolare, casuale, ecc.).

Un esempio dello sviluppo di una ipersfera da 2D a 5D, con una raffigurazione di tipo reticolare, è rappresentato in Figura 1.


Politopi

I politopi, o n-politopi, costituiscono la generalizzazione nD dei poligoni 2D, dei poliedri 3D e dei policori 4D. In letteratura sono presenti una serie di definizioni, non sempre equivalenti, che ruotano attorno ai cosiddetti politopi convessi regolari. Questi ultimi realizzano l'equivalente nD dei noti solidi platonici (tetraedro, cubo o esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro) e rivestono un ruolo importante in numerose discipline e applicazioni.

Senza addentrarsi in definizioni e caratterizzazioni dettagliate, può essere utile sottolineare come, tra i convessi regolari, esistano un solo 1-politopo (segmento lineare), infiniti 2-politopi (poligoni), cinque 3-politopi  (solidi platonici), sei 4-politopi (5-celle, 8-celle, 16-celle, 24-celle, 120 celle e 600-celle) e tre n-politopi (n-simplesso, n-cubo e n-ortoplesso) per tutte le dimensioni maggiori o uguali a cinque.

Parallelamente, tra i non convessi regolari, esistono zero 1-politopo, infiniti 2-politopi (poligoni stellati), quattro 3-politopi (solidi di Kepler-Poinsot), dieci 4-politopi (policori di Schläfli-Hess) e zero n-politopi per tutte le dimensioni maggiori o uguali a cinque. 

In pratica, esistono solo tre tipi di politopi convessi regolari che, con nominazioni varie, attraversano tutte le n dimensioni ed è a essi che si conviene tipicamente fare riferimento con i termini ipertetraedro, ipercubo e iperottaedro seguiti dalla specificazione nD.


Ipertetraedri

Un ipertetraedro nD (o n-simplesso regolare) è l'estensione nD del triangolo equilatero 2D,  del tetraedro 3D e del pentacoro (o 5-celle) 4D. Rappresenta il politopo nD con il numero minore di vertici (n+1) , ha n(n+1)/2 spigoli e il suo politopo inscritto è ancora un ipertetraedro nD (struttura autoduale).

Un esempio dello sviluppo di un ipertetraedro da 2D a 5D è rappresentato in Figura 2.


Ipercubi

Un ipercubo nD (o n-cubo regolare) è l'estensione nD del quadrato 2D, del cubo 3D e del tesseratto (o 8-celle) 4D. Ha 2^n vertici, n2^(n-1) spigoli e il suo politopo inscritto duale è un iperottaedro nD.

Un esempio dello sviluppo di un ipercubo da 2D a 5D è rappresentato in Figura 3.


Iperottaedri

Un iperottaedro nD (o n-ortoplesso regolare) è l'estensione nD del quadrato autoinscritto 2D, dell'ottaedro 3D e del quadriortoplesso (o 16-celle) 4D. Ha 2n vertici, 2n(n-1) spigoli e il suo  politopo inscritto duale è un ipercubo nD.

Un esempio dello sviluppo di un iperottaedro da 2D a 5D è rappresentato in Figura 4.


Note:

Come già sottolineato, le precedenti descrizioni sono volutamente semplificate e puramente orientative, a livello sia matematico sia figurativo.

In particolare, le immagini si limitano agli scheletri spigolari e non evidenziano gli elementi di superficie delle iperstrutture (facce).

Tali elementi sono infatti di complessa significatività nel caso di iperspazi 4D o superiori. In talune circostanze, la loro leggibilità può tuttavia essere recuperata ricorrendo a opportuni accorgimenti nel controllo della traccia cromatica durante la fase di definizione dei
dinamismi cromo-strutturali.
 

 
 
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