Strutture n-dimensionali

Un aspetto fondamentale e caratterizzante del software generativo, prodotto da Turlon, è la capacità di realizzare forme concepite all'interno di spazi di dimensioni arbitrarie (iperstrutture e iperspazi n-dimensionali o nD). Per pure limitazioni di potenza hardware e software, l'attuale numero massimo di dimensioni gestite è trentadue (iperspazio 32D).

Le principali iperstrutture nD utilizzabili nel software sono di tipo

- geometrico

- logico

- funzionale

- misto geometrico-logico-funzionale

- tabellare

Per semplicità, i cenni matematici che seguono sono strettamente limitati al chiarimento di alcuni termini che compaiono nei vari esempi delle pagine o come commento alle opere. Per eventuali esigenze di approfondimento, è consigliato riferirsi al Web ed ai numerosi testi disponibili in letteratura.

Generalità

Gli elementi fondamentali che stanno alla base della rappresentazione di una struttura in uno spazio nD sono i vertici e gli spigoli.

Un vertice è pensato semplicemente come un insieme di n coordinate (ennupla o n-pla), mentre uno spigolo è immaginato come elemento unidimensionale di collegamento tra i vertici in base ad un criterio univoco e prestabilito (geometrico, logico, funzionale, casuale, arbitrario, ecc.) applicabile in modo globale tra le n-ple o in modo singolo tra le coordinate.

I vertici e gli spigoli, selezionati in base ai criteri prestabiliti, concorrono alla realizzazione dello scheletro della struttura (scheletro nD) che si intende da rappresentare nel piano secondo modalità proiettive opportune.

La proiezione nel piano avviene in base a soluzioni di tipo assonometrico arricchite da varie modalità di visualizzazione gestite dal software generativo.

Lo scheletro nD, immaginato in movimento od evoluzione nello spazio, è il responsabile della traccia che consente di realizzare la pittura generativa non appena si associ allo spazio nD un campo cromatico.

Nel seguito si concentrerà l'attenzione sugli scheletri nD delle sole strutture di tipo geometrico (ipersfere e politopi) con la traccia congelata su una posizione opportuna.

Ipersfere 

Una ipersfera nD (o n-sfera) costituisce la generalizzazione nD della circonferenza 2D e della sfera 3D. Rappresenta l'insieme dei punti di uno spazio nD che hanno la medesima distanza da un punto fisso detto centro. Detti punti sono due nel caso 1D ed infiniti per n maggiore od uguale a due.

Ammette varie modalità di raffigurazione ed il software generativo ne prevede più di una (parallela, meridiana, reticolare, casuale, ecc.).

Un esempio dello sviluppo di una ipersfera da 2D a 5D, con una raffigurazione di tipo reticolare, è rappresentato in Figura 1.

Politopi

I politopi, o n-politopi, costituiscono la generalizzazione nD dei poligoni 2D, dei poliedri 3D e dei policori 4D. In letteratura sono presenti una serie di definizioni, non sempre equivalenti, che ruotano attorno ai cosiddetti "politopi convessi regolari". Questi ultimi realizzano l'equivalente nD dei noti "solidi platonici" (tetraedro, cubo o esaedro, ottaedro, dodecaedro ed icosaedro) e rivestono un ruolo importante in numerose discipline ed applicazioni.

Senza addentrarsi in definizioni e caratterizzazioni dettagliate, può essere utile sottolineare come, tra i convessi e regolari, esistano un solo 1-politopo (segmento lineare), infiniti 2-politopi (poligoni), cinque 3-politopi  (solidi platonici), sei 4-politopi (5-celle, 8-celle, 16-celle, 24-celle, 120 celle e 600-celle) e tre n-politopi (n-simplesso, n-cubo e n-ortoplesso) per tutte le dimensioni maggiori od uguali a cinque.

Parallelamente, tra i non convessi regolari, esistono zero 1-politopo, infiniti 2-politopi (poligoni stellati), quattro 3-politopi (solidi di Kepler-Poinsot), dieci 4-politopi (policori di Schläfli-Hess) e zero n-politopi per tutte le dimensioni maggiori od uguali a cinque. 

In pratica, esistono solo tre tipi di politopi convessi regolari che, con nominazioni varie, "attraversano" tutte le n dimensioni ed è ad essi che si conviene tipicamente fare riferimento con i termini ipertetraedro, ipercubo ed iperottaedro seguiti dalla specificazione nD.

Ipertetraedri

Un ipertetraedro nD (o n-simplesso regolare) è l'estensione nD del triangolo equilatero 2D,  del tetraedro 3D e del pentacoro (o 5-celle) 4D. Rappresenta il politopo nD con il numero minore di vertici (n+1) , ha n spigoli ed il suo politopo inscritto è ancora un ipertetraedro nD (struttura autoduale).

Un esempio dello sviluppo di un ipertetraedro da 2D a 5D è rappresentato in Figura 2.

Ipercubi

Un ipercubo nD (o n-cubo regolare) è l'estensione nD del quadrato 2D, del cubo 3D e del tesseratto (o 8-celle) 4D. Ha 2n vertici, n2n spigoli ed il suo politopo inscritto duale è un iperottaedro nD.

Un esempio dello sviluppo di un ipercubo da 2D a 5D è rappresentato in Figura 3.

Iperottaedri

Un iperottaedro nD (o n-ortoplesso regolare) è l'estensione n_dimensionale del quadrato autoinscritto 2D, dell'ottaedro 3D e del quadriortoplesso (o 16-celle) 4D. Ha 2n vertici, 2n(n-1) spigoli ed il suo  politopo inscritto duale è un ipercubo nD.

Un esempio dello sviluppo di un iperottaedro da 2D a 5D è rappresentato in Figura 4.

Note

Come già sottolineato, le precedenti descrizioni sono volutamente semplificate e puramente orientative, a livello sia matematico sia figurativo, e rappresentano solo in piccolissima parte le potenzialità del software generativo. Estensioni di natura varia, che si rendessero necessarie, sono previste nelle versioni successive del sito.
 
 
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